清华大学奥数题
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清华大学奥数题。奥数题可以说是非常深奥的一种数学题目了,有不少奥数题目是用来考查清华学子的。那么接下来就由小编带大家详细的了解清华大学奥数题的相关内容。
清华大学奥数题1
题目(5星难度):
x,y,z是互不相等的正整数,且xyz整除(xy-1)(yz-1)(zx-1),求满足条件的所有x,y,z。
讲解思路:
这道题属于数论问题,
初中高中很少涉及整除的问题,
这道题目考察的是小学奥数知识。
对于整除的问题,
可以假设存在正整数k,使:
(xy-1)(yz-1)(zx-1)=kxyz,
则可用等式的技巧处理整除关系。
为解题方便不妨设x<y<z,
总的解题思路是:
先判断x的范围,
再根据范围逐个代入尝试,
最后得到满足条件的正整数。
步骤1:
先思考第一个问题,
x的范围是多少?
由于kxyz=(xy-1)(yz-1)(zx-1)
=(xyz)^2-x*(xyz)-y*(xyz)-z*(xyz)
+xy+yz+xz-1,
故xy+yz+xz-1
=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),
则xy+yz+xz-1是xyz的正整数倍。
可得xyz不大于xy+yz+xz-1。
由于x<y<z,
故xy<xz<yz。
则有:xyz <= 3yz-1 < 3yz,
因此x<3,即x只能是1或2。
步骤2:
再思考第二个问题,
x可能等于1吗?
在步骤1中我们得到
xy+yz+xz-1
=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),
把x=1代入其中有:
y+yz+z-1=(k-yz+1+y+z)*(yz),
即y+z-1=(k-yz+y+z)*(yz),
故y+z-1是yz的正整数倍,
则yz <= y+z-1 < 2z,
这说明y<2 ,即y=1,
这与x<y矛盾。
因此x不能等于1。
步骤3:
再思考第三个问题,
x可能等于2吗?
类似于步骤2的结论进行计算,
在步骤1中我们得到
xy+yz+xz-1
=(k-xyz+x+y+z)*(xyz),
把x=2代入其中有:
2y+yz+2z-1=(k-yz+2+y+z)*(yz),
即2y+2z-1=(k-yz+1+y+z)*(yz),
故2y+2z-1是yz的正整数倍,
则yz <= 2y+2z-1 < 4z,
这说明y<4,
由于y>x=2,
故y只能是3,
代入2y+2z-1是yz的正整数倍中,
可得2z+5是3z的正整数倍,
则3z <= 2z+5,
故z <= 5,
注意到 z>y=3,
则z只可能是4或5,
验证可得只有z=5满足条件。
因此满足条件的3个数是2,3,5。
考虑到对称性,
所以原题的答案有6组,
即x,y,z分别是2,3,5的6种排列。
注:这道题如果只想凑出答案不难,
但只凑出答案不能得分,
需要扎实的基本功进行计算,
最后给出严格的过程说明答案。
思考题(3星难度):
能否把1到15的正整数分为2组,使每组中的任意2个数的和,都不是完全平方数?
清华大学奥数题2
五年级奥数题有哪些
1、甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地?
2、有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?
3、某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元;由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少?
4、一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
5、甲、乙两位老板分别以同样的'价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套?
6、有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7:5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池?
7、小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间?
8、甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车.
9、甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米?
10、今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱?
11.桌上有3只杯子,全部口朝上,每次将其中2只同时"翻转".经过若干次操作之后,能不能将全部杯口都朝下。如果能,至少需要几次?如果不能,为什么?
清华大学奥数题3
小学奥数都有什么题型
据了解,小学奥数题的难度虽然大大超过学生当前所学难度,但是与其所学知识点还是一样的,只是题型更加多变,考核更加深入。小编在此总结了小学奥数所有题型,具体包括:消去法、页码问题、还原法、平均数、定义新运算、最大最小值、位置原则、相遇行程、追及行程、火车行程、流水行程、牛吃草、方程、不定方程、假设法、设置法、面积计算、表面积、体积、图形计算、盈亏问题、年龄问题、植树问题、工程问题等,接下来就其中几个题型做一个详细的讲解。
1、植树问题
基本类型有四类,分别是:在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树;在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树;在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树;封闭曲线上植树。
基本公式有六个,分别是:棵数=段数+1;棵距×段数=总长;棵数=段数-1;棵距×段数=总长;棵数=段数;棵距×段数=总长。注意:首先确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系。
2、盈亏问题
基本定义:把一定数量的物品平均分给一定数量的人,由于物品和人数都未知,只已知在两次分配中一次是盈(有余),一次是亏(不足);或者两次都盈余,或者两次都亏的数量时,求参加分配的物品总量以及人员总数。
基本题型:
(1)一次盈,一次亏;
基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
(2)两次都盈余;
基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
(3)两次都亏;
基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
3、牛吃草问题
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。注意:原草量和新草生长速度是不变的。
基本公式:生长量=(较长时间X长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数)÷(长时间-短时间);总草量=较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量。
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